Родился будущий знаменитый актер в 1936 году в столице. Большую часть детства провел на Севере, куда выслали по ошибочному обвинению его мать. В университет кинематографии Куравлев поступил со второй попытки. Дебют актера в кино произошел еще в студенческие годы. Молодой Куравлев исполнил роль матроса Камушкина в киноленте «Мичман Панин».
В 1961 году Куравлев сыграл в ленте «Когда деревья были большими» вместе с Юрием Никулиным. Слава пришла к актеру после исполнения главной роли в комедийной мелодраме «Живет такой парень» режиссера Василия Шукшина.
Наиболее знаменитыми кинофильмами в актерской карьере Леонида Куравлева являются ленты «Вий», «Иван Васильевич меняет профессию», «Золотой Теленок», «Семнадцать мгновений весны», «Афоня», «Ищите женщину».
Куравлев всегда играл героев с ярко выраженными характерами, актер успел сняться в более чем 200 кинофильмах, получить звания Заслуженного и Народного артиста РСФСР.